В данной статье речь пойдёт о решении задачи 19 из варианта досрочного профильного ЕГЭ по математике, предлагавшегося для решения школьникам в 2016 году. Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) традиционно вызывает наибольшие затруднения у выпускников, ведь это последняя, а потому обычно самая сложная задача из экзамена. По крайней мере, такое впечатление часто складывается в умах школьников, готовящихся к ЕГЭ. Но на самом деле ничего очень сложного в этих задачах нет. Посмотрите, например, как легко решается следующая задача 19 из профильного ЕГЭ по математике.

Не смущайтесь термина «хорошее» множество. Это типично для составителей вариантов ЕГЭ по математике. Когда не хватает слов, приходится использовать слова не по их прямому назначению.

Решение задачи 19 из профильного ЕГЭ по математике под буквой А

Перейдём к решению. Отвечаем на вопрос под буквой А. Является записанное множество хорошим? Предположим, что да. Если это действительно так, то это самый простой случай для нас. Ведь в этом случае требуется лишь привести пример разбиения этого множества на два множества, суммы элементов которых одинаковы. В противном случае пришлось бы доказывать принципиальную невозможность нужного разбиения. А это уже гораздо сложнее. Ну а поскольку это лишь задание под буквой А, можно надеяться, что оно достаточно простое. Итак, попытаемся разбить наше множество на два подмножества, суммы элементов в которых будут одинаковы.

К счастью, чтобы это сделать, не нужно быть Эйнштейном. Берём самое очевидное и интуитивное решение. Группируем элементы исходного множества в пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее:

Последняя парочка будет состоять из двух чисел: 249 и 250. Всего таких парочек получится 50. Сумма чисел в каждой парочке равна 499. А дальше берите какие угодно 25 парочек в первое множество, остальные 25 — во второе множество, и получите требуемое разбиение. Итак, ответ на вопрос под буквой А — да!

Ответ на вопрос под буквой Б из задачи 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Переходим к вопросу под буквой Б. Задание то же самое, только множество другое. Поэтому думается, что авторы-составители должны были здесь проявить оригинальность. Так что, скорее всего, это множество уже не будет хорошим. Если это так, то просто примером в данном случае ограничиться не получится, придётся всё доказывать. Ну что ж, попробуем.

Вообще говоря, если вдуматься в задание, то решение приходит само собой. Нам требуется разбить данное множество на два подмножества, суммы элементов в каждом из которых равны. Ну и, в общем, тут не нужно быть Стивином Хокингом, чтобы понять, что ключ к решению в том, чтобы найти, чему должны быть равны эти суммы! А для этого нужно посчитать сумму элементов нашего исходного множества.

Посмотрите внимательно. Перед нами классическая геометрическая прогрессия со знаменателем , первым членом и элементами. Сумма всех элементов такой прогрессии определяется по известной формуле:

Это означает, что если бы мы разбили наше множество на два подмножества с одинаковой суммой элементов в каждом из них, то эта сумма оказалась бы равной . А это нечётное число! Но ведь все элементы нашего множества — это степени двойки, то есть числа безусловно чётные. Вопрос. Может ли получиться нечётное число, если складывать чётные числа? Конечно, нет. То есть мы доказали невозможность такого разбиения. Итак, ответ к вопросу под буквой Б из решения задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) — нет!

Решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень) под буквой В

Ну и наконец, переходим к вопросу под буквой В. Сколько же четырёхэлементных хороших множества содержится в множестве {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? Да… Тут уже придётся задуматься более серьёзно. Ну конечно! Ведь это последнее, как говорят некоторые видеоблогеры, самое жёсткое задание в профильном ЕГЭ по математике. Так как же его решить?

Доводилось ли вам когда-нибудь слышать об осознанном переборе? Этот метод применяется тогда, когда возможных вариант не очень много. Но при этом варианты перебираются не как попало, а в определённой последовательности. Это нужно для того, чтобы не упустить из виду ни одного возможного варианта. Плюс, по возможности, при переборе исключаются из рассмотрения невозможные варианты. Итак, как же нам свести это задание к осознанному перебору?

Введём фильтр, ограничивающий перебор:

• Заметим сразу, что суммы искомых хороших четырёхэлементных подмножеств должны быть чётными, иначе их нельзя разбить на подмножества с одинаковыми суммами элементами. При этом минимально возможная сумма равна 1+2+4+5 = 12, а максимально возможная сумма равна 5+7+9+11 = 32. Таких сумм 11 штук.
• Примем также во внимание, что чётные числа 2 и 4 должны либо одновременно входить в хорошее четырёхэлементное множество, либо одновременно не входить в него. В противном случае только одно из чисел четырёхэлементного множества чётное, поэтому сумма элементов такого множества не будет чётной.
• Поскольку порядок расположения элементов в искомых хороших четырёхэлементных множествах не важен, договоримся, что элементы в этих множествах будут у нас расположены по возрастанию.

Рассматриваем все возможные суммы:

1. Сумма 12: {1; 2; 4; 5}.
2. Сумма 14: {1; 2; 4; 7}.
3. Сумма 16: нет вариантов.
4. Сумма 18: {2; 4; 5; 7}.
5. Сумма 20: нет вариантов.
6. Сумма 22: {2; 4; 7; 9}, {2; 4; 5; 11}.
7. Сумма 24: {1; 5; 7; 11}.
8. Сумма 26: {2; 4; 9; 11}.
9. Сумма 28: нет вариантов.
10. Сумма 30: нет вариантов.
11. Сумма 32: {5; 7; 9; 11}.

Вот и получилось у нас всего 8 множеств. Других вариантов нет. То есть ответ к заданию под буквой В — 8.

Вот такое решение задачи 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень). Для тех, кто только начинает готовиться к сдаче профильного ЕГЭ по математике, оно можно показаться сложным. Но на самом деле для решения таких задач требуется использование одних и тех же способов и приёмов. Нужно только овладеть ими, и все эти задачи будут казаться вам простыми, и вы их решите на экзамене без всяких проблем. Я вас мог этому научить. Подробную информацию обо мне и моих занятиях вы можете найти на .

Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения:

1. Ввести условные обозначения.
2. Записать условия с помощью условных обозначений.
3. Преобразовать полученные выражения.
4. Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.

Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2 + y 2 + (20 – (x + y)) 2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x + y)) 2 = 400 -40(x + y) + (x + y) 2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2 + y 2 + (20 – (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40(x + y) + (x + y) 2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Подставим:

x 2 + y 2 + (20 – (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40(x + y) + (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40(x + y) + x 2 + 2xy + y 2

Приведем подобные слагаемые(сложим x 2 с x 2 и y 2 с y 2), получим:

x 2 + y 2 + 400 - 40(x + y) + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y 2 + 200 - 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2 + y 2 + xy делится на 3, а 20(10 - (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 3 2 + 8 2 + 20(10 - (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 5 2 + 20(10 - (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 7 2 + 20(10 - (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 8 2 + 20(10 - (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 2 2 + 20(10 - (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 4 2 + 20(10 - (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 4 2 + 7 2 + 20(10 - (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 5 2 + 7 2 + 20(10 - (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Второй вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить признак делимости на 10.

Решение:

1. Если сумма делится на 10 нацело, то последняя цифра должна быть 0, остальные цифры значения не имеют.

2. В первый квадрат поместим цифру 1, в следующем числе на последнем месте – цифру 3 (или 6), а в третьем – цифру 6 (или 3), получим (сумма 1+3+6=10):

3. Остальные цифры заполним произвольно, например, так:

и получится сумма

1+23+996 = 1020.

Ответ: 1020

Третий вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:

1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.

Решение:

1. Чтобы сумма делилась на 20, она должна заканчиваться на 0 и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, первые три карточки следует выбрать так:

2. Чтобы вторую цифру получить четной, можно взять карточки 2 и 7 (к ней будет добавляться еще 1 от первой суммы 10):

3. В последнее место помещаем оставшуюся цифру 1, в результате имеем:

и сумма равна:

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (1)

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.
2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).
4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.
5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.

Решение:

Поскольку по условию произведение всех цифр кратно 15, то оно кратно 5 и 3.

Кратность 5 означает, что последней цифрой числа может быть только 0 или 5. Но 0 в виде последней цифры означал бы, что произведение всех 4-х цифр стало бы равным 0; а это противоречит условию. Тогда последняя цифра искомого числа равна 5.

Тогда получим: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Меньше 5 произведение таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Согласно признаку делимости на 3, выбираем из этих наборов такой, чтобы сумма его цифр плюс 5 делилась на 3:

1+1+1+5=8 – не подходит;

1+1+3+5=10 – не подходит;

1+2+2+5=10 – не подходит

1+1+2+5=9 – подходит.

Тогда условию задачи соответствуют числа: 1125 , 1215 , 2115 .

Ответ: 1125, 1215, 2115

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (2)

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Алгоритм выполнения

1. Число делится на 18, если оно кратно 2 и 9.
2. Кратность 2 означает, что число должно быть четным. Поэтому сразу отбрасывают последнюю – нечетную – цифру 7.
3. Кратность 9 означает, что сумма его цифр делится на 9. Значит, находим сумму оставшихся цифр. Далее определяем подходящее для полученной суммы число, кратное 9. Число должно быть таким, чтобы: а) оно было меньшим суммы цифр; б) разница между этой суммой и найденным числом позволяла выделить в числе 2 цифры, сумма которых была бы равной этой разнице. Вычеркиваем эти цифры.

Решение:

Т.к. по условию число кратно 18, то оно кратно 2 и кратно 9.

Поскольку число кратно 2, то оно должно оканчиваться четной цифрой. 7 – нечетная цифра, поэтому вычеркиваем ее. Осталось: 8541762.

Т.к. полученное число кратно 9, то сумма его цифр должна делиться на 9. Находим общую сумму его цифр: 8+5+4+1+7+6+2=33. Ближайшее число, которое делится на 9, – это 27.

33–27=6 – это сумма двух цифр, которые нужно вычеркнуть. Пары цифр, которые при этом в сумме дают 6, – это 5 и 1 или 4 и 2. Вычеркнув их, получаем соответственно: 84762 или 85176 .

Кроме этого, на 9 делится 18. Тогда 33–18=15. В этом случае вычеркнуть придется 8 и 7. Получаем: 54162 .

На 9 делится еще и 9, однако 33–9=24, а пары цифр, которые дали бы в сумме 24, естественно, не существует.

Ответ: 84762, 85176, 54162

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (3)

На шести карточках написаны цифры 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении

Вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20.

В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Алгоритм выполнения

1. Во 2-м предложении текста задачи фактически представлено условие, при котором сумма делится на 10, однако не делится на 2.
2. Из п.1 следует, что результирующее число должно оканчиваться 0, а предпоследняя его цифра должна быть нечетной.

Решение:

Для удобства восприятия разместим карточки в столбик:

Если число делится на 10, но не делится на 20, значит, оно точно не делится на 2 без последнего нуля.

Поскольку число кратно 10, то оно должно оканчиваться нулем. Поэтому в последнем разряде (единиц) нужно расположить 3 карточки с такими цифрами, чтоб их сумма оканчивалась на 0. Подходят здесь карточки: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. Их суммы равны 20. Соответственно, 0 мы пишем под чертой, а 2 переносим на предыдущий разряд (десятков):

Чтобы число не делилось на 20, необходимо, чтобы перед нулем стояла нечетная цифра. Нечетная сумма здесь получится тогда, когда одно из слагаемых будет нечетным, а два других четными. Одно из этих (других) слагаемых – это перенесенная 2. Поэтому из оставшихся цифр следует взять: 1) 3 и 8; 2) 6 и 7. Получаем:

На место сотен ставим последнюю (оставшуюся) карточку с цифрой: 1) 9; 2) 7. Получаем, соответственно, числа 1030 и 850 :

Ответ: 1030,850

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (4)

Найдите четное трехзначное на туральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Вводим буквенные обозначения для цифр искомого числа. Исходя из условия задачи, составляем уравнение.
2. Выражаем одну из цифр через 2 другие.
3. Подбираем для этих 2-х (других) цифр значения так, чтобы 3-я (выраженная) представляло бы собой натуральное число. Вычисляем 3-ю цифру.
4. Формируем искомое число так, чтобы оно было четным.

Решение:

Пусть цифры искомого числа – x, y, z. Тогда получаем:

xyz–x–y–z=1

z=(x+y+1)/(xy–1)

Знаменатель в этом выражении должен быть целым и положительным. Для простоты (а также для гарантии правильных расчетов) примем, что он должен быть равен 1. Тогда имеем: ху–1=1 → ху=2. Поскольку х и у это цифры, то их значения могут быть равными только 1 и 2 (т.к. только произведение этих однозначных натур.чисел дает в результате 2).

Отсюда z составляет: z=(1+2+1)/(1·2–1)=4/1=4.

Итак, имеем цифры: 1, 2, 4.

Т.к. по условию итоговое число должно быть четным, то оканчиваться оно может только 2 или 4. Тогда правильными вариантами чисел будут такие:

124 , 142 , 214 , 412 .

Ответ: 124, 142, 214, 412

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (5)

Найдите шестизначное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Если число делится на 24, значит, оно делится на 8 и на 3.
2. Согласно признаку делимости на 8, 3 последних цифры его должны образовывать число, которое кратно 8.
3. Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Учитывая уже сформированную 2-ю часть числа (см.п.2), дополняем его первыми тремя цифрами соответственно.

Решение:

Чтобы искомое число было кратно 24, требуется, чтобы оно делилось на 8 и в то же время на 3.

Число делится на 8, если последние его 3 цифры образуют число, кратное 8. С использованием только двоек и нулей такое трехзначное число можно образовать так: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222. Из этих чисел на 8 делится только 000 и 200.

Теперь нужно дополнить искомое число первыми 3-мя цифрами так, чтобы оно делилось еще и на 3.

В 1-м случае это будет единственный вариант: 222000 .

Во 2-м случае вариантов два: 220200 , 202200 .

Ответ: 222000, 220200, 202200

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (6)

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Если число кратно 15, значит, оно кратно 3 и 5.
2. Применяем признак делимости на 5 и условие задачи, согласно которому произведение цифр числа ≠0. Так получаем, что последняя цифра искомого числа – только 5.
3. Делим 35 на 5 и 45 на 5. Узнаем диапазон значений, которые может принимать произведение первых 3-х цифр числа. Узнаем, что оно может быть равно только 8.
4. Определяем последовательности цифр, которые дают при перемножении 8.
5. Проверяем полученные из найденных цифр числа на кратность трем.

Решение:

Кратность искомого числа 15 дает 2 условия: оно должно делиться на 5 и на 3.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться цифрой 5 или 0. Однако 0 в данном случае использовать нельзя, поскольку при этом произведение цифр числа оказывается равным 0. По условию же это не так. Итак, последняя – 4-я – цифра числа равна 5.

По условию 35 < x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1·1·8=8, 1·2·4=8.

Отсюда получаем числа:

1185 ; 1245 .

Проверяем их на кратность 3:

Вывод: оба найденные числа кратны 3. Плюс кратны их комбинации:

1815 ; 8115 ; 1425 ; 2145 ; 2415 ; 4125 ; 4215 .

Ответ: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (7)

Найдите пятизначные число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Принимаем во внимание, что на 25 делятся числа, которые придется последовательно делить на 5 дважды. Определяем, какой парой цифр они должны оканчиваться.
2. Учитывая, что 2-й частью условия является различие каждой соседней пары цифр исключительно на 2 единицы, выбираем подходящий вариант (или варианты) цифр.
3. Способом подбора находим остальные цифры и, соответственно, числа. Одно из них запишем в ответе.

Решение:

Если число делится на 25, то оно должно оканчиваться на: 00, 25, 50, 75. Т.к. соседние цифры должны отличаться строго на 2, то использовать для 4-й и 5-й цифр можем только 75. Получаем: ***75.

1. **975 или
2. **575.

1) *7975 → 97975 или 57975 ;

2) *3575 → 13575 или 53575 , *7575 → 57575 или 97575 .

Ответ: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (8)

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Алгоритм выполнения

1. Определяем диапазон значений для 1-й цифры числа (сотен).
2. Определяем, какой может быть последняя цифра (единицы), приняв во внимание: 1) при делении на 5 дает в остатке 1; 2) на этом месте не может быть четная цифра, поскольку это одно из условий делимости на 4.
3. Способом подбора определяем набор чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
4. Из этого набора (см.п.3) отбрасываем числа, которые при делении на 4 дают остаток, отличный от 1.

Решение:

Т.к. искомое число >600 и при этом является трехзначным, то 1-й цифрой может быть только 6, 7, 8 или 9. Тогда получаем для искомого числа:

Если число при делении на 5 должно давать в остатке 1, значит, оно может оканчиваться только на 0+1=1 или на 5+1=6. Шестерку тут отбрасываем, поскольку в этом случае число четное и потенциально может делиться на 4. Поэтому имеем:

Если число при делении на 3 дает в остатке 1, значит, сумма его цифр должна быть кратной 3 плюс 1. Кроме того, учитываем, что цифры должны располагаться в числе в порядке убывания. Подбираем такие числа:

Из этой последовательности отбрасываем числа, для которых не выполняется условие о том, что число при делении на 4 должно давать в остатке 1.

Т.к. признак делимости на 4 заключается в том, что 2 последние цифры должны делиться на 4, то получаем:

для 631: 31=28+3, т.е. в остатке имеем 3; число не подходит

для 721 : 21=20+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 751: 51=48+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 841 : 41=40+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 871: 71=68+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 931: 31=28+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 961 : 61=60+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

Ответ: 721, 841, 961

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (9)

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны 0. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Из условия следует, что числа могут начинаться только на 4,5 или 6.
2. При анализе чисел 4-й сотни отбрасываем числа: 1) 1-го десятка, т.к. в них содержится 0; 2) 4-го десятка, т.к. в этом случае первые две цифры совпадут; 3) числа 5-го десятка, т.к. они должны оканчиваться только на 5 или 0, что недопустимо. Кроме того, для всех четных десятков можно рассматривать только четные числа.
3. Числа 5-й сотни отбрасываем полностью, т.к. чтобы делиться на каждую свою цифру, они должны оканчиваться 5 или 0.
4. Для чисел 6-й сотни рассматривать можно только: 1) четные; 2) кратные 3; 3) не оканчивающиеся 0.

Решение:

Числа 40* и 4*0 отбрасываем, т.к. они содержат 0.

Числа 41* годятся только четные, т.к. это обязательное условия для кратности 4. Анализируем:

412 – подходит

414 – не подходит, т.к. в нем совпадают цифры

416 – не подходит, т.к. не делится на 6

418 – не подходит, т.к. не делится ни на 4, ни на 8

Из чисел 42* годятся только четные, поскольку должны делиться на 2:

422 и 424 – не подходят, т.к. в них совпадают цифры

426 – не подходит, т.к. не делится на 4

428 – не подходит, т.к. не делится на 8

Числа 43* годятся только четные и кратные 3. Поэтому тут подходит только 432 .

Числа 44* не подходят полностью.

Числа 45* не подходят полностью, т.к. они должны оканчиваться только 5 (т.е. быть нечетными) или 0.

Числа 46*, 47*, 48*, 49* не подходят полностью, т.к. для каждого из них не выполняется 1 или несколько условий.

Числа 5-й сотни не годятся полностью. Они должны делиться на 5, а для этого оканчиваться либо 5, либо 0, что не допускается.

Числа 60* не годятся полностью.

Среди остальных можно рассматривать только четные, кратные 3, не оканчивающиеся 0. Опуская подробности перебора чисел, оговорим только, что из них годятся: 612 , 624 , 648 . Для остальных не выполняется одно или несколько условий.

Ответ: 412, 432, 612, 624, 648

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (10)

Найдите четырехзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Если число кратно 45, значит, оно делится на 5 и на 9.
2. Рассматривать следует только числа четных сотен.
3. Оканчиваться числа могут только 0, т.к. 5 – нечетная цифра.
4. Сумма цифр числа должна быть равна 18. Только в этом случае можно составить его из всех четных цифр.

Решение:

Т.к. по условию цифры должны быть четными, то рассматривать можно только числа 2-й, 4-й, 6-й и 8-й тысяч. Это значит, что начинаться оно может с 2, 4, 6 или 8.

Если число кратно 45, то оно кратно 5 и кратно 9.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться 5 или 0. Но поскольку все цифры должны быть четными, то подходит здесь только 0.

Т.о., получаем шаблоны чисел: 2**0, 4**0, 6**0, 8**0. Отсюда следует, что для проверки кратности 9 требуется, чтобы сумма первых 3-х цифр была равной 9, или 18, или 27 и т.д. Но подходит тут только 18. Основания: 1) для получения в сумме 9 нужно, чтобы одно из слагаемых было нечетным, а это противоречит условию; 2) 27 не подходит потому, что даже если взять самую большую 1-ю цифру 8, то сумма 2-й и 3-й цифр будет равна 27–8=19, что превышает допустимый предел. Еще большие суммы цифр, кратные 9, не подходят тем более.

Рассматриваем числа по тысячам.

Числа 2**0. Сумма средних цифр равна: 18–2=16. Получить 16 из четных чисел можно только так: 8+8. Однако цифры не должны повторяться. Поэтому подходящих условию чисел здесь нет.

Числа 4**0. Сумма средних цифр: 18–4=14. 14=8+6. Поэтому получаем: 4680 или 4860 .

Числа 6**0. Сумма средних цифр: 18–6=12. 12=6+6, что не подходит, т.к. цифры повторяются. 12=4+8. Получаем: 6480 или 6840 .

Числа 8**0. Сумма средних цифр: 18–8=10. 10=2+8, что не подходит, т.к. при этом будет повторяться 8. 10=4+6. Получаем: 8460 или 8640 .

Ответ: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640

19 задание в профильном уровне ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников способности оперировать числами, а именно их свойствами. Это задание наиболее сложное и требует нестандартного подхода и хорошего знания свойств чисел. Перейдем к рассмотрению типового задания.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Алгоритм решения:

1. Вводим переменные k, l , m.
2. Находим сумму набора чисел.
3. Отвечаем на пункт а).
4. Определяем, каких чисел больше (пункт б)).
5. Определяем, сколько положительных чисел.

Решение:

1. Пусть среди записанных на доске чисел положительных k. Отрицательных чисел l и нулевых m.

2. Сумма выписанных чисел равна их количеству в данной записи на доске, умноженному на среднее арифметическое. Определяем сумму:

4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m)

3. Заметим, что слева в приведенном только что равенстве каждое из слагаемых делится на 4, потому сумма количества каждого типа чисел k + l + m тоже делится на 4. По условию общее число записанных чисел удовлетворяет неравенству:

40 < k + l + m < 48

Тогда k + l + m = 44, потому что 44 единственное между 40 и 48 натуральное число, которое делится на 4.

Значит, написано на доске всего 44 числа.

4. Определяем, чисел какого вида больше: положительных или отрицательных. Для этого приведем равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к более упрощенному виду: 5l = 7k + 3m.

5. m≥ 0. Отсюда вытекает: 5l ≥ 7k, l > k. Получается, что отрицательных чисел записано больше положительных. Подставляем вместо k + l + m число 44 в равенство

4k −8l = − 3(k + l + m).

4k − 8l = −132, k = 2l − 33

k + l ≤ 44, тогда получается: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17. Отсюда приходим к выводу, что положительных чисел не более 17.

Если же положительных чисел всего 17, то на доске 17 раз записано число 4, 25 раз – число −8 и 2 раза записано число 0. Такой набор отвечает всем требованиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Второй вариант 1 (из Ященко, №1)

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Алгоритм решения:

1. Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
2. Проверяем вероятность второго условия.
3. Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
4. Записываем ответы.

Решение:

1. Такой примерный перечень чисел на доске соответствует заданным условиям:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Это дает положительный ответ на вопрос а.

2. Пусть на доске написано ровно два числа, у которых последняя цифра 3. Тогда там записано 33 чётных числа. Их сумма:

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1062, то есть, утвердительного ответа на вопрос б нет.

3. Полагаем, что на доске записано n чисел, которые оканчиваются на 3, и (35 – n)из выписанных чётные. Тогда сумма чисел, которые оканчиваются на 3, равна

а сумма чётных:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Тогда из условия:

Решаем получившееся неравенство:

Получается, что . Отсюда, зная, что n - натуральное, получаем .

3. Наименьшее число чисел, оканчивающихся на 3, может быть только 5. И добавлено 30 чётных чисел, тогда сумма всех чисел нечётна. Значит, чисел, которые оканчиваются на 3, больше. чем пять, поскольку сумма по условию равна четному числу. Попробуем взять 6 чисел, с последней цифрой 3.

Приведём пример, когда 6 чисел, оканчиваются на три, и 29 чётных чисел. Сумма их равна 1062. Получается такой список:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Третий вариант (из Ященко, №4)

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?

Алгоритм решения:

1. Ответим на вопрос а).
2. Найдем ответ на вопрос б).
3. Найдем суммарное количество фотографий, сделанных Наташей.
4. Запишем ответ.

Решение:

1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала снимков.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

А) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

Числовая последовательность задана формулой общего члена: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Найдите наименьшее значение n ,при котором a_(n) < 1/2017.

Б) Найдите наименьшее значение n, при котором сумма n первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.

B) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?

А) Пусть произведение восьми различных натуральных чисел равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Найдите наибольшее значение B/A.

Б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения равняться 210?

В) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения B/A равняться 63?

С натуральным числом производят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

А) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125

Б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

В) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

В группе 32 студента. Каждый из них пишет или одну, или две контрольные работы, за каждую из которых можно получить от 0 до 20 баллов включительно. Причем каждая из двух контрольных работ по отдельности дает в среднем 14 баллов. Далее, каждый из студентов назвал свой наивысший балл (если писал одну работу, то называл за нее), из этих баллов находили среднее арифметическое и оно равно S.

< 14.
Б) Могло ли быть такое, что 28 человек пишет две контрольные и S=11?
В) Какое максимальное число студентов могло написать две контрольные работы, если S=11?

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130

А) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?

Б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?

В) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

А) Может ли на доске быть ровно 24 четных числа?

Б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

В) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.

А) Приведите пример, когда S < 14

Б) Могло ли значение S быть равным 17?

В) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

19) На доске написано 30 чисел. Каждое из них либо чётное либо десятичная запись числа оканчивается на 3. Их сумма равна 793.

А)может ли на доске быть ровно 23 чётных числа;
б)может ли только одно из чисел оканчиваться на 3;
в)какое наименьшее количество из этих чисел может оканчиваться на 3?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

А) Может ли на доске быть 5 чисел?

Б) Может ли на доске быть 6 чисел?

В) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Заданы числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы

A) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

a) Найти натуральное число n такое, что бы сумма 1+2+3+...+n равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

Б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

А) Можно ли числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах?

Б) Можно ли числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах?

В) Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в этих группах? Приведите пример такого разбиения на группы.

Дан клетчатый квадрат размером 6х6.

А) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
Б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
Б) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат?

В каждой клетке таблицы размером 3 x 3 записаны числа от 1 до 9 (рис.). За один ход разрешается к двум соседним числам (клетки
имеют общую сторону) прибавить одно и то же целое число.

А) Можно ли таким образом получить таблицу, во всех клетках которой будут одинаковые числа?

Б) Можно ли таким образом получить таблицу, составленную из одной единицы (в центре) и восьми нулей?

В) После нескольких ходов в таблице оказались восемь нулей и какое‐то число N, отличное от нуля. Найдите все возможные N.

А) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?

Б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?

В) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?

Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

A) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
B) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6.

А) Можно ли, используя все палочки, сложит равнобедренный треугольник?

Б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

В) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

А) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?

Б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?

В) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Конечная последовательность a1,a2,...,a_(n) состоит из n больше или равно 3 не обязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k меньше или равно n-2 выполнено равенство a_(k+2) = 2a_(k+1)-a_(k)-1.

А) Приведите пример такой последовательности при n = 5, в которой a_(5) = 4.

Б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

В) При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из трёхзначных чисел?

Целые числа x, у и z в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

A) Могут ли числа x+3, у^2 и z+5 образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

Б) Могут ли числа 5x, у и 3z образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

B) Найдите все x, у и z, при которых числа 5x+3, у^2 и 3z+5 будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).

А) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?

Б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?

В) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.

В шах­ма­ты можно вы­иг­рать, про­иг­рать или сыг­рать вни­чью. Шах­ма­тист за­пи­сы­ва­ет ре­зуль­тат каж­дой сыг­ран­ной им пар­тии и после каж­дой пар­тии под­счи­ты­ва­ет три по­ка­за­те­ля: «по­бе­ды» - про­цент побед, округлённый до це­ло­го, «ничьи» - про­цент ни­чьих, округлённый до це­ло­го, и «по­ра­же­ния», рав­ные раз­но­сти 100 и суммы по­ка­за­те­лей «побед» и «ни­чьих». (На­при­мер, число 13,2 округ­ля­ет­ся до 13, число 14,5 округ­ля­ет­ся до 15, число 16,8 округ­ля­ет­ся до 17).
а) Может ли в какой-то мо­мент по­ка­за­тель «побед» рав­нять­ся 17, если было сыг­ра­но менее 50 пар­тий?
б) Может ли после вы­иг­ран­ной пар­тии уве­ли­чит­ся по­ка­за­тель «по­ра­же­ний»?
в) Одна из пар­тий была про­иг­ра­на. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве сыг­ран­ных пар­тий по­ка­за­тель «по­ра­же­ний» может быть рав­ным 1?

Пусть q – наименьшее общее кратное, а d - наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y–29.

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

А) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

Б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

В) Сколько в роте может быть солдат?

Пусть q - наименьшее общее кратное, а d - наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y-29.

А) Может ли q/d - быть равным 170?

Б) Может ли q/d - быть равным 2?

В) Найдите наименьшее значение q/d

Определите, имеют ли общие члены две последовательности

A) 3; 16; 29; 42;... и 2; 19; 36; 53;...

Б) 5; 16; 27; 38;... и 8; 19; 30; 41;...

B) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1; ...; 1000 и 9; ...; 999, если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

А) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?

A) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

B) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

А) Является ли множества {200;201;202;...;299} хорошим?

Б) Является ли множество {2;4;8;...;2^(100)} хорошим?

В) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?

В результате опроса выяснилось, что примерно 58% опрошенных предпочитают искусственную ёлку натуральной (число 58 получено с помощью округления до целого числа). Из этого же опроса последовало, что примерно 42% респондентов никогда не отмечали Новый год не дома.

А) Могло ли в опросе участвовать ровно 40 человек?
б) Могло ли в опросе участвовать ровно 48 человек?
в) Какое наименьшее количество человек могло участвовать в этом опросе?

Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение x^2-px+q=0, где p и q - взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.

А) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 14, но не превосходит 54. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 18. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 8, с доски стёрли.

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015?
в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Ученики некоторой школы написали тест. Ученик за этот тест мог получить целое неотрицательное число баллов. Считается, что ученик сдал тест, если набрал не менее 50 баллов. Чтобы результаты улучшились, каждому участнику тестирования добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших тест увеличилось.

А) Мог ли после этого понизиться средний балл участников, не сдавших тест?

Б) Мог ли после этого понизиться средний балл участников, не сдавших тест, и при этом средний балл участников, сдавших тест, тоже понизиться?

В) Пусть первоначально средний балл участников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших тест - 40 баллов, а средний балл всех участников составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 63 баллам, а не сдавших тест - 43. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

А) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7 ?

Б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7 ?

В) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью - 0,5 очка, за проигрыш - 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.

А) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?

Б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?

В) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

А) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

Красный карандаш стоит 18 рублей, синий - 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

А) Можно ли купить 30 карандашей?

Б) Можно ли купить 33 карандаша?

В) Какое наибольшее число карандашей можно купить?

Из­вест­но, что a, b, c, и d - по­пар­но раз­лич­ные дву­знач­ные числа.
а) Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство (a+c)/(b+d)=7/19
б) Может ли дробь (a+c)/(b+d) быть в 11 раз мень­ше, чем сумма (a/c)+(b/d)
в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь(a+c)/(b+d) если a>3b и c>6d

Известно, что a, b, c и d - попарно различные двухзначные числа.

А) Может ли выполняться равенство (3a+2c)/(b+d) = 12/19

Б) Может ли дробь (3a+2c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма 3a/b + 2c/d

В) Какое наименьшее значение может принимать дробь (3a+2c)/(b+d), если a>3b и c>2d?

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.

А) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=19.

Б) Может ли быть a+b+c+d=23 и a2−b2+c2−d2=23?

В) Пусть a+b+c+d=1200 и a2−b2+c2−d2=1200. Найдите количество возможных значений числа a.

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест - 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стерли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 25 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на 61)
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
Б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
В) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1? а) На доске выписан набор -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза.
Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n больше или равно 3).

А) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?

Б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?

В) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111?

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за писан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

А) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му из чисел:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

А) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

Б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 117?

В) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

А) На доске вы­пи­сан набор -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?
б) Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но? а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Читалова Светлана Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СШ№23 с углубленным изучением отдельных предметов
Населённый пункт: Нижегородская область, город Дзержинск
Наименование материала: презентация
Тема: "Задание №19. ЕГЭ. Математика (базовый уровень)"
Дата публикации: 14.05.2016
Раздел: полное образование

Задание №19.

ЕГЭ. Математика

(базовый уровень)

Читалова Светлана Николаевна

учитель математики,

МБОУ СШ №23

с углубленным изучением отдельных

предметов,

Характеристика задания

Характеристика задания

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

преобразования.

Задание №19 (1 балл) –

базовый уровень.

Проверяет умение выполнять вычисления и

преобразования.

Время выполнения задания 16 минут.

В задании предложены задачи на тему

«Делимость натуральных чисел».

Чтобы решить такую задачу, надо знать

признаки делимости натуральных чисел,

свойства делимости чисел и другие сведения.

делится на 4.

делится на 11.

На 2: Число делится на 2 тогда и только тогда, когда

оно оканчивается четной цифрой.

На 3: Число делится на 3 тогда и только тогда,

когда сумма его цифр делится на 3.

На 4: Число делится на 4 тогда и только тогда, когда

число, образованное его двумя последними цифрами,

делится на 4.

На 5: Число делится на 5 тогда и только тогда,

когда оно оканчивается цифрой 0 или 5.

На 8: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное его тремя

последними цифрами, делится на 8.

На 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

На 10: Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0.

На 11: Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой

цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах,

делится на 11.

На 25: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя

последними цифрами, делится на 25.

Признаки делимости:

Признаки делимости:

чисел

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Свойство делимости: Если натуральное число делится на каждое из

двух взаимно простых чисел, то оно делится на их произведение.

Определение. Натуральные числа называют

взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без

остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих

чисел

Свойство делимости: Если в сумме целых чисел каждое слагаемое

делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

Теорема о делении с остатком: Для любого целого числа а и

натурального числа в существует единственная пара целых чисел q и r

таких, что

а = в q + r, где 0 ≤ r ≤ в.

Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называют

частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Теоретические сведения:

Теоретические сведения:

но не делится на 9.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3,

но не делится на 9.

Задача №1 (демо–версия 2016г)

на3 и не делится на 9.

Решение. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20= 9+9+2; 2) 20= 9+8+3; 3) 20=9+7+4;

20=9+6+5; 5) 20=8+8+4; 6) 20= 8+7+5

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она

на3 и не делится на 9.

1) 81+81+4 =166 не дел на3; 2) 81+64+9 =154 не дел на3;

3) 81+49+16 =146 не дел на3; 4) 81+36+25=142 не дел на3;

5) 64+64+16=144 дел на 3 и 9;

6) 64+49+25= 138 дел на 3,но не дел на 9

Разложение (6) удовлетворяет условию задачи. Таким образом, условию

задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5,7,8.

Ответ. 578, 587,758,785,857,875

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

но не делится на 4.

Приведите пример трехзначного числа, сумма цифр

которого равна 24, а сумма квадратов цифр делится на 2,

но не делится на 4.

Задача №2

Задача №2

делится на 9.

9,9,6 и 9,8,7.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=24,

то среди цифр а, в, с либо две нечетные, либо ни одной.

Если все цифры а, в, с четны, то сумма их квадратов делится на 4, а это противоречит

условию задачи, значит, среди цифр а, в, с две нечетных. Разложим число 24 на

слагаемые: 24=9+9+6, 24=9+8+7.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не

делится на 9.

81+81+36= 198 дел на 2,но не дел на 4

81+64+49= 194 дел на 2,но не дел на 4

Разложение (1), (2) удовлетворяют условию задачи. Таким образом,

условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами

9,9,6 и 9,8,7.

Ответ. 996, 969, 699, 987, 978, 897, 879, 798, 789

квадратов цифр делится 5

Приведите пример трехзначного числа,

сумма цифр которого равна 22, а сумма

квадратов цифр делится 5

Задача №3

Задача №3

Ответ. 589,598,985,958,895,859

направо.

Приведите пример трехзначного натурального числа, большего

600, которое при делении на 3, на4, на 5 дает в остатке 1 и

цифры которого расположены в порядке убывания слева

направо.

В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача №4

Задача №4

проверим при к=10.

направо.

направо.

Ответ. 721

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 3,4,5, то оно делится на

3х4х5= 60 и при делении дает остаток 1, значит А=60к+1. Так как А больше 600, то

проверим при к=10.

Если к=10,то А=601, цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=11, то А=661 цифры в этом числе не расположены в порядке убывания слева

направо.

Если к=12, то А=721 цифры в этом числе расположены в порядке убывания слева

направо, а значит это число удовлетворяет условию задачи.

Ответ. 721

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 7 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наименьшее из них

Задача №5

Задача №5

< r < 5.

выполнено.

Решение. Пусть А – искомое число. Так как оно делится на 7 и 5, то оно делится на 7х5=

35 и при делении дают равные ненулевые остатки, значит А= 35к+ r, где 0 < r < 5.

Если к= 3,то А=106, 107, 108, 109 первая слева цифра в этих числах не равна среднему

арифметическому двух других цифр. Если первая цифра 1, то условие не будет

выполнено.

Если к= 6, то А= 211, 212, 213, 214 первая слева цифра в числе 213 равна среднему

арифметическому двух других цифр, значит это число удовлетворяет заданному условию

и является наименьшим. Ответ. 213

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при

делении на 9 и на 10 дает равные ненулевые остатки, а первая слева

цифра которого является средним арифметическим двух других цифр.

Если таких чисел несколько, в ответе укажите наибольшее из них

Задача №6

Задача №6

Задача №7

Задача №7

одно такое число.

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, которое

при делении на 6 и на 5 дает равные ненулевые остатки, а

первая слева цифра которого является средним

арифметическим двух других цифр.В ответе укажите ровно

одно такое число.

Ответ. 453

Ответ. 453

Ответ. 546

Ответ. 546

чисел несколько, в

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами 2 и3 и делится на 24. Если таких

чисел несколько, в

ответе укажите наименьшее из них.

Задача №8

Задача №8

Решение.

Ответ. 233232

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

24= 3х8, то оно делится на 3 и на 8. Согласно признаку делимости на 8,

получаем, что последние три цифры 232. Эти цифры в сумме дают

Согласно признаку делимости на 3, сумма первых трех цифр может

составлять 2(не подходит), 5 (не подходит), 8 (комбинации цифр

3,3,2). Так как число должно быть наименьшим, то 233232

Ответ. 233232

одно получившееся число.

Вычеркните в числе 54263027 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно

одно получившееся число.

Задача №8

Задача №8

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Ответ. 54630 или 42630.

Решение.

Пусть А – искомое число. Так как оно делится на

15= 3х5, то оно делится на 3 и на 5. Согласно признаку делимости на 5,

получаем, что нужно вычеркнуть две последние цифры, получим число

542630. Из этого числа надо вычеркнуть 1 цифру. Сумма цифр этого

числа равна 5+4+2+6+3+0=20

Согласно признаку делимости на 3, надо вычеркнуть 2 (сумма цифр

будет18) или 5(сумма цифр будет 15)

Ответ. 54630 или 42630.

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое

записывается только цифрами

2 и 4 и делится на 36. Если таких чисел несколько,

в ответе укажите наибольшее из них.

Задача №9

Задача №9

Ответ. 442224

Ответ. 442224

Вычеркните в числе 84537625 три цифры так, чтобы

получившееся число делилось на 12. В ответе укажите

ровно одно получившееся число.

Задача №10

Задача №10

Ответ. 84576

Ответ. 84576

стер Коля?

На доске было написано пятизначное число, делящееся на

55 без остатка. Мимо бежал Коля, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 404*0. Какую цифру

стер Коля?

Задача №11

Задача №11

Решение.

40400= 55х734+30, значит

10а+30=55к

Если к= 2, то 10а=80, а=8

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

Решение.

Пусть а – искомая цифра. Тогда число можно представить в виде:

404а0 = 40400+10а. Так как остаток от деления 40400 на 55 равен 30,

40400= 55х734+30, значит

404а0 = 40400+10а= 55х734+30+ 10а, т.е 40400 +10а делится нацело на

55 в том и только том случае, если 10а+30 делится нацело на 55,т.е

10а+30=55к

Если к= 1, то 10а=25, а=2,5 (не является цифрой)

Если к= 2, то 10а=80, а=8

Если к≥3, то 10а=55к ─30, будет не меньше, чем 135,

а ≥ 13,5

(а -не является цифрой)

Ответ. 8.

которых сумма цифр равна 3?

Сколько существует трехзначных чисел, у

которых сумма цифр равна 3?

Задача №12

Задача №12

Ответ. 6.

Решение. Пусть авс – искомое число. Так как а+в+с=3,

то простым перебором вариантов (рассматривая

поочередно случаи а=1,а=2,а=3), получаем числа

120,102,111,210,201,300, т.е их количество равно 6.

Ответ. 6.

стер Петя?

На доске было написано пятизначное число, делящееся

на 41без остатка. Мимо бежал Петя, стер одну цифру, а

вместо нее нарисовал *. Получилось 342*6. Какую цифру

стер Петя?

Задача №13

Задача №13

Ответ. 7

Ответ. 7

Задача №14

Задача №14

цифр равна 4?

Сколько существует трехзначных чисел, у которых сумма

цифр равна 4?

Ответ. 10

Ответ. 10

Список литературы:

Список литературы:

образование, 2016г

Математика. Подготовка к ЕГЭ 2016.

Базовый уровень./ Д.А. Мальцев, А.А.

Мальцев, Л.И.Мальцева/- М: Народное

образование, 2016г

2. Демо - версия 2016г (сайт ФИПИ)

Сайт «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина

Алгебра 8класс: учебник для учащихся общеобразовательных

организаций/ Ю.Н.Макарычев и др./- М: Мнемозина,2015

Математика 5,6 класс: учебники для общеобразовательных

учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. /- М: Мнемозина,2015

Спасибо за внимание!!!

Спасибо за внимание!!!